Table of Contents
Hiệu hai bình phương là một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ. Đây có thể xem là hằng đẳng thức đơn giản nhất, tuy nhiên lại có thể vận dụng để giải quyết các bài toán phức tạp một cách cực kì hiệu quả. Trong bài viết này, chúng ta cùng nhau tìm hiểu cách để vận dụng hằng đẳng thức này như thế nào nhé.
1. Hiệu hai bình phương là gì?
Với A và B là các biểu thức tùy ý ta có :
Ví dụ:
(2x+1)(2x-1) = (2x)2 -12 = 4x2 -1
912 - 92 = (91 - 9)(91 + 9) = 82.100 = 8200
62.78 = (70 - 8)(70 + 8) =702 - 82 = 4900 - 64 = 4836
2. Một số dạng bài tập vận dụng hiệu hai bình phương
2.1. Dạng 1: Tính nhanh
*Phương pháp giải:
Đưa về dạng hiệu hai bình phương bằng cách nhóm các hạng tử, thêm bớt số hạng bình phương hoặc tách thành dạng tổng hiệu.
Bài tập vận dụng
Tính nhanh
a) 1012
b) 47.53
c) 20,1.19,9
d) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1)
e) 1002 - 992 + 982 - 972 +......+ 22 - 12
d) (202 + 182 + 162 +...........+ 42 + 22) - (192 + 172 + 152 +.............+ 32 +12)
ĐÁP ÁN
a) 1012 = (1012 - 1) + 1 = (101 + 1)(101 - 1) +1 = 100.102 + 1 =10201
b) 47.53 = (50 - 3)(50 + 3) = 502 - 32 = 2500 - 9 =2491
c) 20,1.19,1 = (20 + 0,1)(20 - 0,1)= 202 - 0,12 =400 - 0,01 =399,99
d) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1) = (9.2)8 - ((184)2 - 1) = 188 - (188 - 1) = 188 - 188 + 1 = 1
e) Đặt A = 1002 - 992 + 982 - 972 +..............+ 22 - 12
Ta có:
A = (1002 - 992) + (982 - 972) +..............+ (22 - 12)
= (100 - 99)(100 + 99) + (98 - 97)(98 + 97) + ................ + (2 - 1)(2 + 1)
= 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 95 + ........................................+ 2 + 1
= 100.101 : 2
= 5050
f) Đặt B = ( 202 + 182 + 162 +..............+ 42 + 22) - (192 +172 + 152 +.................+ 32 + 12)
Ta có:
B = ( 202 + 182 + 162 +..............+ 42 + 22) - (192 +172 + 152 +.................+ 32 + 12)
= (202 - 192) + (182 - 172) + (162 - 152) + .....................+ (42 - 32) + (22 - 12)
= (20 + 19)(20 - 19) + (18 - 17)(18 + 17) + (16 - 15)(16 + 15) +............+ (4 - 3)(4 + 3) + (2 - 1)(2 + 1)
= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 + 15 +..................................+ 4 + 3 + 2 + 1
= 20.21 : 2
= 210
*Mẹo nhỏ sử dụng máy tính casio để tách tích thành tổng và hiệu
ví dụ: 47.53
Ta làm như sau:
Đầu tiên vào máy tính Casio Fx570 nhấn phím '' Mode '' tiếp theo nhấn phím ''5'', tiếp tục nhấn phím ''1''. Bạn sẽ thấy hiện ra một bảng, ta tiếp tục nhấn phím ''1'' rồi nhấn phím ''='', nhấn phím ''1'' rồi nhấn phím ''=''. Sau đó, nhấn số lớn hơn trong tích
Từ đây ta có thể tách
2.2. Dạng 2: Biến đổi các biểu thức thành hiệu hai bình phương
*Phương pháp giải:
Biến đổi đa thức bằng cách nhóm các hạng tử để đưa về dạng hiệu hai bình phương
Bài tập vận dụng
Viết các biểu thức thành hiệu hai bình phương
a) 9x2 - 6x -3
b) 4x2 -12x - y2 + 2y +8
c) (x - y + 6).(x + y + 6)
ĐÁP ÁN
a) 9x2 - 6x - 3 = (9x2 - 6x +1) - 4 = [ (3x)2 - 2.3x.1 + 12 ] - 4 = (3x - 1)2 - 22
b) 4x2 - 12x - y2 +2y + 8 = ( 4x2 - 12x + 9) - (y2 + 2.y + 1) = [ (2x)2 - 2.2x.3 + 32 ] - (y +1)2 = (2x - 3)2 - (y +1)2
c) (x - y + 6)(x + y + 6) = ((x+6) - y)((x+6) + y)= (x + 6)2 - y2
2.3. Dạng 3: Biến đổi các đa thức thành tích
*Phương pháp giải:
Tương tự như dạng 2 tuy nhiên sau khi đưa về dạng hiệu hai bình phương ta sẽ biến đổi thành tích.
Bài tập vận dụng
Viết các đa thức sau thành tích
a)
b)
c)
d)
ĐÁP ÁN
a)
b)
c)
d)
3. Bài tập nâng cao vận dụng hiệu hai bình phương lớp 8
Bài 1: So sanh hai số sau, số nào bé hơn?
a) A = 1989.1991 và B = 19902
b) A = (2 + 1).(22 + 1).(24 + 1).(28 + 1).(216 + 1) và B = 232
ĐÁP ÁN
a) Ta có:
A = 1989.1991 = (1990 - 1)( 1990 + 1) = 19902 - 1 < 19902 = B
Vậy A < B.
b) Ta có:
Vậy A < B.
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số n tự nhiên ta thì biểu thức
ĐÁP ÁN
Ta có:
Từ phân tích trên ta có thể thấy A là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Mà trong 3 số tự nhiên liên tiếp chắc chắn sẽ có một số chia hết cho 3. Do đó, ta có A chia hết cho 3. (1)
Mặt khác, A chứa tích ba số tự nhiên liên tiếp, thì trong đó ba số đó có 2 số là hai số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn sẽ có một số chia hết cho 2. Hay nói cách khác A chia hết cho 2. (2)
Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên ước chung lớn nhất của 2 và 3 bằng 1. (3)
Từ (1) (2) và (3)
Vậy A chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n.
Trên đây là tất cả các dạng bài tập có thể vận dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để giải quyết. Thông qua việc nhóm các hạng tử một cách hợp lý ta có thể khai thác tối đa công dụng của hiệu hai bình phương, từ đó giúp giải quyết các bài toán từ có bản cho đến phức tạp. VOH Giáo Dục hy vọng những kiến thức này sẽ giúp các bạn học sinh hiểu và hoàn thành được các bài tập liên quan đến hiệu hai bình phương một cách dễ dàng.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang