Bình phương của một tổng là công thức đầu tiên trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ. Chúng ta hãy cùng tìm hiểu công thức bình phương của một tổng có các dạng bài tập như thế nào và được vận dụng ra sao nhé.
1. Bình phương của một tổng là gì?
Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích số thứ nhất nhân và số thứ hai rồi cộng với bình phương của số thứ hai.
Với A, B là một biểu thức hoặc một số tuỳ ý, ta có:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Ví dụ 1: Khai triển biểu thức sau: (2x + 3)2
Lời giải: (2x + 3)2 = (2x)2 + 2 . 2x . 3 + 32 = 4x2 + 12x + 9.
Ví dụ 2: Viết biểu thức 9x2 + 24x + 16 dưới dạng bình phương của một tổng.
Lời giải: 9x2 + 24x + 16 = (3x)2 + 2 . 3x . 4 + 42 = (3x + 4)2
*Mở rộng:
Với A, B, C là một biểu thức hoặc một số tuỳ ý, ta có:
(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC
(Công thức này được chứng minh trong phần bài tập vận dụng)
2. Các dạng bài tập về bình phương của một tổng
2.1. Dạng 1: Khai triển biểu thức cho trước
*Phương pháp giải:
- Bước 1: Xác định các biểu thức
; - Bước 2: Liên hệ sử dụng hằng đẳng thức phù hợp;
- Bước 3: Sử dụng tính chất của luỹ thừa để khai thác biểu thức.
Bài tập vận dụng
Bài 1: Khai triển các biểu thức sau:
a) (x + 5)2
b) (2x + 4)2
ĐÁP ÁN
a) (x + 5)2 = x2 + 2 . x. 5 + 52 = x2 + 10x + 25
b) (2x + 4)2 = (2x)2 + 2 . 2x . 4 + 42 = 4x2 + 16x + 16
Bài 2: Khai triển các biểu thức sau:
a) (x + 3y)2
b)
ĐÁP ÁN
a) (x + 3y)2 = x2 + 2 . x . 3y + (3y)2 = x2 + 6xy + 9y2;
b)
2.2. Dạng 2: Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng
*Phương pháp giải:
- Bước 1: Xác định các biểu thức
; - Bước 2: Liên hệ sử dụng công thức bình phương của một tổng.
Bài tập vận dụng
Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng.
a) x2 + 2x + 1
b) 4x2 + 4x + 1
ĐÁP ÁN
a) x2 + 2x + 1 = x2 + 2 . x . 1 + 12 = (x + 1)2
b) 4x2 + 4x + 1 = (2x)2 + 2 . 2x . 1 + 12 = (2x + 1)2
Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng.
a)
b)
c)
ĐÁP ÁN
a)
b)
c)
2.3. Dạng 3: Tính nhanh
*Phương pháp giải:
- Bước 1: Tách số (hoặc các hạng tử) thành tổng các số một cách hợp lí, thông thường sẽ tách thành tổng của các số tròn chục, tròn trăm;
- Bước 2: Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng;
- Bước 3: Tính.
Bài tập vận dụng
Tính nhanh:
a) 1012
b) 3012
c) 2752 + 2.275.25 + 252
d) 1282 + 2.128.22 + 222
ĐÁP ÁN
a) 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2.100.1 + 12 = 10000 + 200 + 1 = 10201b) 3012 = (300 + 1)2 = 3002 + 2.300.1 + 12 = 90000 + 600 + 1 = 90601
c) 2752 + 2.275.25 + 252 = (275 + 25)2 = 3002 = 90000
d) 1282 + 2.128.22 + 222 = (128 + 22)2 = 1502 = 225002.4. Dạng 4: Chứng minh đẳng thức
*Phương pháp giải:
Vận dụng một cách linh hoạt hằng đẳng thức bình phương của một tổng để biến đổi vế này thành vế kia hoặc biến đổi đồng thời cả hai vế cùng bằng một biểu thức.
Bài tập vận dụng
Bài 1: Chứng minh rằng: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.
ĐÁP ÁN
Ta có: (a + b + c)2
= [(a + b) + c]2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
Vậy (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.Bài 2: Chứng minh rằng: (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
ĐÁP ÁN
Ta có: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
Do đó: VT = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc + a2 + b2 + c2
= (a2 + 2ab + b2) + (b2 + 2bc + c2) + (c2 + 2ac + a2)
= (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = VP
Vậy (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2.
2.5. Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
*Phương pháp giải:
Vận dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để biến đổi biểu thức về dạng:
với mọi . Khi đó GTNN của bằng khi tồn tại sao cho . với mọi . Khi đó GTLN của bằng khi tồn tại sao cho .
Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức sau:
a)
b)
c)
ĐÁP ÁN
a) Với mọi
Dấu "=" xảy ra
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b) Với mọi
Dấu "=" xảy ra
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức
c) Với mọi
Dấu "=" xảy ra
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức sau:
a)
b)
ĐÁP ÁN
a) Với mọi
Dấu "=" xảy ra
Vậy giá trị lớn nhất của
b) Với mọi
Dấu "=" xảy ra
Vậy giá trị lớn nhất của
Vậy bài viết này đã nêu ra đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập điển hình liên quan đến hằng đẳng thức bình phương của một tổng. Hy vọng các bạn học sinh sẽ nắm chắc phần lý thuyết này để làm các bài tập liên quan.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang