Table of Contents
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là một phần nội dung rất quan trọng trong chương trình Toán. Vậy bảy hằng đẳng thức đáng nhớ đó là gì? Cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây nhé.
1. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
1.1. Bình phương của một tổng
Bình phương của một tổng chính bằng tổng giữa số thứ nhất bình phương với hai lần tích hai số và cộng với số thứ hai bình phương. Nghĩa là:
(m+n)2 = m2 + 2mn + n2
Ví dụ: ( m + 2)2 = m2 +2.m.2+22 = m2 + 4m + 4
1.2. Bình phương của một hiệu
Bình phương của một hiệu chính bằng số thứ nhất bình phương trừ đi hai lần tích hai số và cộng với số thứ hai bình phương. Nghĩa là:
(m – n)2 = m2 -2mn + n2
Ví dụ: (1 – n ) 2 = 12 – 2.1.n + n2 = 1 – 2n + n2
» Xem thêm: Bình phương của một hiệu là gì? Phát biểu, cách tính và ví dụ
1.3. Hiệu hai bình phương
Hiệu hai bình phương là bằng tổng của hai số nhân với hiệu hai số. Nghĩa là:
m2 – n2 = (m + n)(m – n)
Ví dụ: m2 – 52 = (m + 5) ( m – 5)
» Xem thêm: Hiệu hai bình phương là gì? Các dạng bài tập điển hình
1.4. Lập phương của một tổng
Lập phương của một tổng chính bằng lập phương số thứ nhất cộng với ba lần tích giữa số thứ nhất bình phương và số thứ 2, cộng với 3 lần tích giữa số thứ nhất và số thứ hai bình phương, cộng với lập phương số thứ 3. Nghĩa là:
(m + n)3 = m3 + 3m2n + 3mn2 + n3
Ví dụ: (m + 3)3 = m3 + 3.m2.3 + 3.m.32 + 33 = m3 + 9m2 +27m + 27
1.5. Lập phương của một hiệu
Lập phương của một hiệu chính bằng lập phương số thứ nhất trừ đi ba lần tích giữa số thứ nhất bình phương và số thứ 2, cộng với 3 lần tích giữa số thứ nhất và số thứ hai bình phương, trừ đi lập phương số thứ 3. Nghĩa là:
(m – n)3 = m3 – 3m2n + 3mn2 – n3
Ví dụ: (6 – n)3 = 63 – 3.62.n + 3.6.n2 – n3 = 216 – 108n + 18n2 – n3
» Xem thêm: Lập phương của một hiệu là gì? Công thức và các dạng bài tập phổ biến
1.6. Tổng hai lập phương
Tổng hai lập phương là tích giữa tổng hai số đó với bình phương thiếu của một hiệu. Nghĩa là:
m3 + n3 = ( m + n )(m2 – mn + n2)
Ví dụ: m3 + 23 = ( m + 2)(m2 – m.2 + 22) = ( m + 2)(m2 – 2m + 4)
» Xem thêm: Tìm hiểu về tổng hai lập phương và giải các bài tập liên quan
1.7. Hiệu hai lập phương
Hiệu hai lập phương là tích giữa hiệu hai số đó với bình phương thiếu của một tổng. Nghĩa là:
m3 - n3 = ( m - n )(m2 + mn + n2)
Ví dụ: m3 - 73 = ( m - 7)(m2 + m.7 + 72) = ( m – 7 )(m2 + 7m + 49)
2. Mở rộng của các hằng đẳng thức đáng nhớ
Hằng đẳng thức đáng nhớ còn có thể được mở rộng như sau:
(m + n + p )2 = m2 + n2 + p2 + 2mn + 2np + 2pm
(m - n + p )2 = m2 + n2 + p2 - 2mn - 2np + 2pm
(m + n - p )2 = m2 + n2 + p2 + 2mn - 2np - 2pm
(m - n - p )2 = m2 + n2 + p2 - 2mn + 2np - 2pm
(m + n + q)3 = m3 + n3 + q3 + 3(m+n)(n+q)(q + m)
(m - n)3 + ( n - q)3 + (q - m)3 = 3(m - n)(n - q)(q - m)
» Xem thêm: Cách phân tích đa thức thành nhân tử đầy đủ, dễ hiểu nhất
3. Các dạng bài tập trọng tâm về bảy hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8
3.1. Dạng 1: Đưa biểu thức về hằng đẳng thức đáng nhớ rồi tính giá trị của biểu thức
*Phương pháp giải:
Dựa vào bảy hằng đẳng thức đáng nhớ để giải bài toán
Ví dụ: Tính giá trị biểu thức X = m2 + 4m + 4 tại m = -2
Giải
Đầu tiên, ta sẽ đưa biểu thức X = m2 + 4m + 4 về hằng đẳng thức sau đó thay giá trị m = -2 vào rồi tính
Ta có: X = m2 + 4m + 4 = m2 + 2.2.m + 22 = (m + 2)2
Với m = -2, thay vào X ta được:
X = (- 2 + 2)2 = 0
Vậy X = 0 khi m = -2
Bài tập luyện tập
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức bằng cách đưa về hằng đẳng thức
a) X = 16 – 8m + m2 tại m = 2
b) Z = n2 – 152 tại n = 5
ĐÁP ÁN
a) X = 16 – 8m + m2 tại m = 2
Ta có: X = 16 – 8m + m2 = 42 -2.4.m + m2 = ( 4 - m )2
Thay m = 2 vào biểu thức ta được:
X = ( 4-2)2 = 22 = 4
Vậy X = 4 khi m = 2
b) Z = n2 – 152 tại n = 5
Ta có: Z = n2 – 152 = (n-15)(n+15)
Thay n = 5 vào Z ta được
Z = ( 5 - 15) ( 5+15) = -10 . 20 = -200
Vậy Z = -200 khi n = 5
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức bằng cách đưa về hằng đẳng thức
a) A = m3 + 9m2 + 27m + 27 tại m = -3
b) D = (m - 4)(m2 + 4m + 16) tại m = 4
ĐÁP ÁN
a) A = m3 + 9m2 + 27m + 27 tại m = -3
Ta có: A = m3 + 9m2 + 27m + 27 = m3 + 3m2 .3 + 3.m.32 + 33 = ( m + 3 )3
Thay m = -3 vào A ta được:
A = ( -3 + 3)3 = 0
Vậy A = 0 khi m = -3
b) D = (m - 4)(m2 + 4m + 16) tại m = 4
Ta có D = (m - 4)(m2 + 4m + 16) = m3 - 43
thay m = 4 vào D ta được
D = 43 - 43 =0
Vậy D = 0 khi m = 4
3.2. Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức dựa vào bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
*Phương pháp giải:
Dựa vào các hằng đẳng thức và nhớ được bình phương của một số luôn lớn hơn hoặc bằng 0
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = m2 – 2m + 2
Giải
đưa biểu thức M = m2 – 2m + 2 về dạng hằng đẳng thức
Ta có: M = m2 – 2m + 2 = m2 – 2.m.1 + 1 + 1 = (m – 1)2 + 1
Mà
=> min M = 1 <=> m – 1 = 0 => m = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 1 khi m = 1
Bài tập luyện tập
Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau:
a) A = 4m2 + 8m + 20
b) B = m2 – 10m + 23
c) C = -m2 + 4m – 10
d) D = -40 – 16m - 2m
ĐÁP ÁN
a) A = 4m2 + 8m + 20
Ta có: A = 4m2 + 8m + 20 = (2m)2 + 2.2m.2 + 22 +16 = (2m+2)2 + 16
Vì
=> Min A = 16 <=> 2m + 2 = 0 => m = -1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 16 khi m = -1
b) B = m2 – 10m + 23
Ta có: B = m2 – 10m + 23 = m2 - 2.5m + 52 - 2 = (m-5)2 -2
Vì
=> Min B = -2 <=> m - 5 = 0 => m = 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -2 khi m = 5
c) C = -m2 + 4m – 10
Ta có: C = -m2 + 4m – 10 = -(m2 - 4m +10) = -[( m2 - 2.m.2 + 22 ) + 6] = -[(m-2)2 +6] = -(m-2)2 - 6
Vì
=> Max C = -6 <=> m - 2 = 0 => m = 2
Vậy giá trị lớn nhất của C là -6 khi m = 2
d) D = -40 – 16m - 2m2
Ta có: D = -40 – 16m - 2m2 = -2(20 + 8m + m2) = -2[ (m+4)2 + 4] = -2(m+4)2 - 8
Vì
=> Max D = -8 <=> m + 4 = 0 => m = -4
Vậy giá trị lớn nhất của D là -8 khi m = -4
Đây là một bài rất quan trọng trong chương trình học vì vậy các bạn học sinh cần nắm chắc và học thuộc bảy hằng đẳng thức đáng nhớ để áp dụng vào làm bài.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang