Table of Contents
Hiệu hai lập phương là hằng đẳng thức thứ 6 trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ được học ở chương trình lớp 8. Đây là công cụ đại số được sử dụng nhiều trong chương trình toán sau này. Sử dụng hằng đẳng thức số 6 này ta có thể tính hiệu hai lập phương một cách dễ dàng, nhanh chóng và được dùng để giải nhiều bài toán khó trong đại số. Bài viết sau đây giới thiệu công thức và một số bài tập về hiệu hai lập phương.
1. Công thức hiệu hai lập phương
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
Trong đó a,b là các số thực
Phát biểu: Hiệu hai lập phương sẽ bằng tích giữa hiệu hai số đó với bình phương thiếu của một tổng của hai số đó
Ví dụ 1:
64x3 - 125y3 = (4x - 5y)(16x2 + 20xy + 25y2)
8x3 - 27y3 = (2x - 3y)(4x2 + 6xy + 9y2)
Ví dụ 2: Đâu là hiệu của hai lập phương
- x3 - 8y3 = (x + 2y)(x2 - 2xy + 4y2)
- x3 - 8y3 = (x - 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
- x3 - 8y3 = (x + 2y)(x2 - 4xy + 4y2)
- x3 - 8y3 = (x - 2y)(x2 + 4xy + 4y2)
ĐÁP ÁN
Ta có: số thứ nhất là x và số thứ hai là 2y. Áp dụng công thức hiệu hai lập phương ta có
x3 - 8y3 = (x - 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
Chọn đáp án B
2. Các dạng toán sử dụng hiệu hai lập phương
2.1. Dạng 1: Khai triển hằng đẳng thức hiệu hai lập phương
Phương pháp: Dùng công thức hiệu hai lập phương để khai triển. Xác định đâu là số thứ nhât đâu là số thứ hai
Câu 1: Khai triển hằng đẳng thức sau:
a) (6x)3 - (5y)3
b) x3 - (2y)3
c) (3x - 5y)(9x2 + 15xy + 25y2)
ĐÁP ÁN
a) (6x)3 - (5y)3 =(6x - 5y)(36x2 + 30xy + 25y2)
b) x3 - (2y)3 = (x - 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
c) (3x - 5y)(9x2 + 15xy + 25y2) = 27x3 - 125y3
Câu 2: Cho (2x - 6y)(4x2 + 12xy + 36y2). Đây là khai triển của hiệu hai lập phương nào?
- 2x3 - 6y3
- 4x3 - 6y3
- 4x3 - 36y3
- 8x3 - 216y3
ĐÁP ÁN
Áp dụng công thức hiệu hai lập phương ta có số thứ nhất là 2x và số thứ 2 là 6y.
Suy ra (2x - 6y)(4x2 + 12xy + 36y2) = (2x)3 - (6y)3
Chọn đáp án D
2.2. Dạng 2: Phân tích đa thức thành phân tử
Phương pháp: Ta dùng khai triển hằng đẳng thức và phương pháp kết hợp giữa phép nhân với phép cộng.
Câu 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử (2x - 3)3 - (3x - 5)3
Hướng dẫn: Nhìn vài bài toán ta thấy xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai lập phương. Trong đó số thứ nhất a = 2x - 3 và số thứ hai b = 3x - 5. Áp dụng công thức và giải.
ĐÁP ÁN
Áp dụng hằng đẳng thức hiệu của hai lập phương vào ta có:
(2x - 3)3 - (3x - 5)3
= [ 2x - 3 - (3x - 5) ] [ (2x - 3)2 + (2x - 3)(3x - 5) + (3x - 5)2 ]
= (2x - 3 - 3x + 5) [ (2x)2 - 2.2x.3 + 32 + 6x2 - 10x - 9x + 15 + (3x)2 - 2.3x.5 + 52]
= (-x + 2)(4x2 - 12x + 9 + 6x2 - 10x - 9x + 15 + 9x2 - 30x + 25)
=(-x + 2)(19x2 - 61x + 49)
Câu 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 + x3y - xy3 - y4
ĐÁP ÁN
Theo đề ra ta có:
x4 + x3y - xy3 - y4
= x4 - y4 + x3y - xy3
= (x2 - y2)(x2 + y2) + xy(x2 - y2)
= (x2 - y2)(x2 + y2 + xy)
= (x + y)(x - y)(x2 + xy + y2)
= (x + y)(x3 - y3)
2.3. Dạng 3: Rút gọn biểu thức
Phương pháp: Ta dùng khai triển hằng đẳng thức, nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức sau đó rút gọn các đơn thức giống nhau.
Câu 5: Rút gọn biểu thức sau: (x + 3)(x2 - 3x + 9) - x3 + 2x + 6
ĐÁP ÁN
Theo đề ra ta có:
(x + 3)(x2 - 3x + 9) - x3 + 2x + 6
= x3 - 27 - x3 + 2x + 6
= 2x - 21
Câu 6: Rút gọn biểu thức (3x - 2y)(9x2 + 6xy + 4y2) + (x - 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
ĐÁP ÁN
Áp dụng hằng đẳng thức hiệu của hai lập phương ta có:
(3x - 2y)(9x2 + 6xy + 4y2) + (x - 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
= 27x3 - 8y3 + x3 - 8y3
= 28x3 - 16y3
Câu 7: Rút gọn biểu thức (2x - 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) - 7x3 + 26y3 - 3x2y + 3xy2
ĐÁP ÁN
Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương ta có:
(2x - 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) - 7x3 + 26y3 - 3x2y + 3xy2
= 8x3 - 27y3 - 7x3 + 26y3 - 3x2y + 3xy2
= x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
= (x - y)3
2.4. Dạng 4: Chứng minh đẳng thức
Phương pháp: Ta chứng minh vế trái bằng vế phải hoặc ngược lại, hoặc chứng minh vế trái vế phải cùng bằng một biểu thức. Ta đi từ vế phức tạp hơn chứng minh về về đơn giản hơn.
Câu 8: Chứng minh đẳng thức sau: (x - y)3 + (x - y)(x2 + xy + y2) + 3(x2y - xy2)=2x3 - 2y3
ĐÁP ÁN
Khai triển vế trái, áp dụng hằng đẳng thức hiệu của hai lập phương ta có:
VT = (x - y)3 + (x - y)(x2 + xy + y2) + 3(x2y - xy2) = 2x3 - 2y3
= x3 - 3x2y + 3xy2 - y3 + x3 - y3 + 3x2y - 3xy2
= 2x3 - 2y3 ( = VP )
Suy ra vế trái bằng với vế phải. Điều phải chứng minh
2.5. Dạng 5: Giải phương trình
Câu 9: Tìm số nguyên dương x và y, biết hiệu hai lập phương của chúng là 152 và x + y=10
ĐÁP ÁN
Theo đề ra ta có hiệu hai lập phương là 152, ta có
x3 - y3 = 152
Ta có x + y = 10 suy ra y = 10 - x, thay vào phương trình (1) ta được:
[ x - (10 - x) ] [ x2 + x(10 - x) + (10 - x)2 ] = 152
TH1: x - 6 = 0 suy ra x = 6
mà x + y = 10 suy ra y = 10 - x
suy ra y = 10 - 6 = 4
TH2: 2x2 - 18x + 192 = 0
Ta có:
Suy ra nhỏ hơn 0
Vậy phương trình vô nghiệm
Kết luận: hai số cần tìm là x = 6 và y = 4
Câu 10: Tìm hai số tự nhiên a và b lớn hơn 0 sao cho hiệu hai lập phương của chúng là 216 và
a - b = 6
ĐÁP ÁN
Theo đề ra ta có a - b = 6 và a3 - b3 = 216
a3 - b3 = 216
Thay a - b = 6 vào ta có:
6.(62+3ab)=216
TH1: a = 0 suy ra b = -6 (loại vì b>0)
TH2: b = 0 suy ra a = 6
Vậy hai số cần tìm là a = 6 và b = 0
Bài viết trên đã nêu ra công thức của hiệu hai lập phương và một số cách áp dụng hiệu hai lập phương vào một số dạng toán thường gặp trong chương trình toán Trung học Cơ sở. Hy vọng qua bài viết có thể giúp các bạn hiểu hơn về hiệu hai lập phương và cách áp dụng nó khi giải bài tập.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang