Table of Contents
Đồ thị hàm số của một hàm số là hình vẽ minh họa sự biến thiên của hàm số trên hệ trục tọa độ Oxy. Như vậy giao điểm của 2 đồ thị hàm số thì bản chất là điểm chung cùng thuộc hai đồ thị vậy điểm đó có mối quan hệ như nào với cả hai hàm số. Chủ đề này sẽ giải quyết vấn đề nêu trên.
1. Giao điểm của 2 đồ thị hàm số
Cho hai hàm số f(x) và g(x).
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số f(x) và g(x) là nghiệm của phương trình f(x) = g(x)
Số giao điểm của hai đồ thị f(x) và g(x) là số nghiệm của phương trình f(x) = g(x)
Ví dụ: Đồ thị có bốn giao điểm ⇔ phương trình f(x) = g(x) có bốn nghiệm. Hoành độ giao điểm x1, x2, x3, x4 nên x1, x2, x3, x4 là nghiệm của f(x) = g(x).
2. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số Parabol
Tương giao đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c và trục Ox
Với a > 0
• Cắt nhau tại hai điểm phân biệt nếu yCT < 0
• Cắt nhau tại 1 điểm nếu yCT = 0
• Không cắt yCT > 0
Với a < 0
• Cắt nhau tại hai điểm phân biệt nếu yCĐ > 0
• Cắt nhau tại 1 điểm nếu yCĐ = 0
• Không cắt yCĐ < 0
Tương giao đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c và đường thẳng y = dx + e
Theo phương trình hoành độ giao điểm ta có ax2 + bx + c = dx + e
• Cắt nhau tại hai điểm phân biệt nếu Δ > 0
• Cắt nhau tại 1 điểm nếu Δ = 0
• Không cắt Δ < 0
3. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số bậc 3
Tương giao đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d và trục Ox
• Cắt nhau tại ba điểm khi và chỉ khi
• Cắt nhau tại hai điểm khi và chỉ khi
• Cắt nhau tại một điểm khi và chỉ khi
Tương giao đồ thị hàm số (C): y = ax3 + bx2 + cx + d và đường thẳng (d): y = kx + n
Xét phương trình ax3 + bx2 + cx + d = kx + n (1)
• Nhẩm nghiệm rồi đưa về phương trình bậc hai.
• Cô lập tham số sau đó khảo sát hàm số.
4. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số bậc 4
Tương giao đồ thị hàm số (C): y = ax4 + bx2 + c và trục Ox
• Cắt nhau tại bốn điểm khi và chỉ khi
• Cắt nhau tại ba điểm khi và chỉ khi
Tương giao đồ thị hàm số (C): y = ax4 + bx2 + c và đường thẳng (d): y = k
Xét phương trình ax4 + bx2 + c = k (2)
Đặt t = x2 (t ≥ 0) ta có phương trình at2 + bt + c - k = 0 (3)
∗ Cắt nhau tại bốn điểm
⇔ (2) có bốn nghiệm phân biệt.
⇔ (3) có hai nghiệm dương phân biệt.
⇔ (3) thỏa mãn
∗ Cắt nhau tại ba điểm
⇔ (2) có ba nghiệm phân biệt.
⇔ (3) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm t = 0.
∗ Cắt nhau tại hai điểm
⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt
⇔ (3) có nghiệm kép dương hoặc có hai nghiệm trái dấu.
∗ Cắt nhau tại một điểm
⇔ (2) có một nghiệm
⇔ (3) có hai nghiệm phân biệt, trong đó t = 0 và một nghiệm âm hoặc (3) có nghiệm kép t = 0.
∗ Không cắt nhau
⇔ (2) vô nghiệm
⇔ (3) vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm
5. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số trong đó có đồ thị hàm số phân thức bậc nhất
Tương giao đồ thị hàm số
Xét phương trình
Cắt nhau tại hai điểm ⇔ (4) có hai nghiệm phân biệt khác
6. Bài tập giao điểm của 2 đồ thị hàm số
Bài 1: Đồ thị hàm số
A. 2
B. 0
C. 4
D. 1
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Giải phương trình hoành độ giao điểm.
∗ Cách giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm
⇒ Phương trình vô nghiệm.
Vậy hai đồ thị hàm số không có điểm chung.
→ Chọn câu B.
Bài 2: Số giao điểm của đồ thị
A. 2
B. 0
C. 3
D. 1
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Số giao điểm chính là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
∗ Cách giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
⇔
⇔
⇔
Vậy hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.
→ Chọn câu C.
Bài 3: Đồ thị hàm số
A. 1 điểm
B. 3 điểm
C. 4 điểm
D. 2 điểm
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Xét sự tương giao của đồ thị hàm số y = f(x) với trục hoành.
Số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với trục hoành là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f(x) = 0
∗ Cách giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Đặt
Vì
Nên phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
Suy ra phương trình (*) có hai nghiệm
Nên đồ thị hàm số
→ Chọn câu D.
Bài 4: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình f(x) = 1.
A. 0
B. 1
C. 3
D. 2
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f(x) = 1 là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = 1
∗ Cách giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm duy nhất.
Do đó phương trình f(x) = 1 có 1 nghiệm.
→ Chọn câu B.
Bài 5: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Đọc bảng biến thiên để tìm nghiệm của phương trình.
∗ Cách giải
Ta có
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt
→ Chọn câu C.
Bài 6: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Dựa vào bảng biến thiên, xác định giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m
∗ Cách giải
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
→ Chọn câu B.
Bài 7: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình bên. Đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng y = -2018 tại bao nhiêu điểm?
A. 4
B. 2
C. 1
D. 0
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai
∗ Cách giải
Dựa vào hình vẽ, ta thấy
Suy ra đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng y = -2018 tại 2 điểm phân biệt.
→ Chọn câu B.
Như vậy việc tìm giao điểm của 2 đồ thị hàm số chính là tìm ra nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm hai hàm số. Đây là nội dung có xuất hiện trong kì thi THPTQG ở mức độ nhận biết thông hiểu. Ở phần bài tập và lý thuyết các dạng toán được tổng hợp theo các dạng bài thường xuyên xuất hiện, kĩ năng giải phương trình cũng là một phần rất quan trọng cần đặc biệt lưu ý trong dạng toán trên.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang