Hàm phân thức là gì? Cách nhận dạng đồ thị hàm phân thức

∗ Phương pháp

Dựa vào nghiệm của phương trình mẫu số, tuy nhiên cần kết hợp với điều kiện xác định trên tử số để xét tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là số nghiệm của phương trình mẫu số = 0 với điều kiện nghiệm đó không trùng với nghiệm của tử số.

∗ Cách giải

Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:

    - Hàm số Tập xác định: , với mẫu có 2 nghiệm x = 1; x = ⇒ Đồ thị có 2 tiệm cận đứng.

    - Hàm số Tập xác định: D = [-2; 2], với mẫu có 2 nghiệm nhưng x = 3 ≠ [-2; 2] ⇒ Đồ thị có 1 tiệm cận đứng.

    - Hàm số  Tập xác định: D = , ⇒ Đồ thị hàm số có duy nhất 1 tiệm cận đứng.

    - Hàm số  Tập xác định: D =  , với mẫu có 2 nghiệm   nhưng x = 2 ∉  ⇒ Đồ thị có duy nhất 1 tiệm cận đứng.

→ Chọn câu A. 

∗ Phương pháp

Sử dụng định nghĩa tiệm cận ngang. Đường thẳng y = a là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:  

∗ Cách giải 

- Với m > 0 ta có điều kiện xác định: 1 - mx² > 0 ⇔ mx² < 1 ⇔ x² <  ⇔  < x <  loại vì theo định nghĩa tiệm cận ngang phải tồn tại giới hạn khi x → ∞.

- Với m < 0 ta có điều kiện xác định: 1 - mx² > 0 đúng với ∀x.

Xét nên là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Xét nên là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy với m < 0 đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang và

→ Chọn câu D. 

∗ Phương pháp

Sử dụng định nghĩa của tiệm cận đứng để giải. 

Cụ thể đối với hàm số y = f(x) thì x = a là tiệm cận đứng khi nhận một trong các giá trị  

∗ Cách giải

Để hàm số có hai tiệm cận đứng thì ta cần tìm sao cho tồn tại x₀, x₁ sao cho nhận một trong hai giá trị  

Trường hợp 1

• Nếu m = 0. Khi đó . Ta có nên không có tiệm cận đứng nào.

Trường hợp 2

• m > 0. Khi đó do đó trường hợp cũng không có tiệm cận đứng nào.

Trường hợp 3

• Khi m < 0. Ta viết lại

- Nhìn vào biểu thức cuối ta dự đoán điểm x₀, x₁ sẽ tương ứng là  

- Hơn nữa ta chú ý rằng biểu thức trong dấu căn cần dương nên ta phải có 

- Xét giới hạn  

Nếu  

- Thì giới hạn trên có dạng do đó x = -1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Nếu  

- Khi đó ta chứng minh được  

- Do đó là một tiệm cận đứng của hàm số đã cho.

- Trường hợp  

- Ta có  

- Và hơn nữa ta chứng minh được  

- Do đó là một tiệm cận đứng của hàm số đã cho. Ta lại có  

Vậy là hai tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

→ Chọn câu C.

∗ Phương pháp

- Quan sát bảng biến thiên.

- Khảo sát các hàm số của từng đáp án A, B, C, D.

∗ Cách giải 

Quan sát bảng biến thiên ta thấy:

-  nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2.

-  nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1.

-  Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞).  

Đáp án A: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng ⇒ loại.

Đáp án B: Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = -1. Lại có nên hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞) ⇒ thỏa mãn.

Đáp án C: nên hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞) ⇒ loại.

Đáp án D: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 ⇒ loại.

→ Chọn câu B.

∗ Phương pháp

Dựa vào các đường tiệm cận của đồ thị hàm số và các điểm mà đồ thị hàm số đi qua.

∗ Cách giải  

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy

- Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là  

- Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ  

→ Chọn câu C.