Cách biện luận theo m số nghiệm của phương trình & bài tập ứng dụng

Biện luận theo m số nghiệm của phương trình là một trong số các dạng toán thường gặp trong chuyên đề về tương giao đồ thị hàm số, ở đây chúng ta sẽ làm việc với điều kiện của tham số để phương trình đã cho có nghiệm thỏa yêu cầu. Việc biện luận m dựa trên cơ sở lý thuyết là vị trí tương đối của đồ thị hàm g(m) so với f(x) hoặc dựa trên điều kiện tồn tại nghiệm của các hàm số đặc trưng.

1. Lý thuyết liên quan đến dạng toán biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Cho hai hàm số và .

Xét phương trình hoành độ giao điểm .

Ta có:

• Số giao điểm của hai đồ thị = Số nghiệm của phương trình.

• Hoành độ giao điểm = Nghiệm của phương trình.

Hình vẽ minh họa: 

Đồ thị có ba giao điểm ⇔ phương trình có ba nghiệm. Hoành độ giao điểm là nghiệm của .

2. Một số phép biến đổi đồ thị vận dụng giải quyết bài toán biện luận theo m số nghiệm của phương trình

2.1. Tịnh tiến đồ thị hàm số

Cho hàm số có đồ thị ; p, q là 2 số dương tùy ý.

• Tịnh tiến lên trên q đơn vị thì được đồ thị hàm số

• Tịnh tiến xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị hàm số

• Tịnh tiến sang trái p đơn vị thì được đồ thị hàm số .

• Tịnh tiến sang phải p đơn vị thì được đồ thị hàm số

• Tịnh tiến theo vectơ thì được đồ thị hàm số

2.2. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

∗ Từ đồ thị suy ra đồ thị

Ta có và là hàm chẵn.

Nên đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

Cách vẽ từ :

• Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục Oy của đồ thị (bỏ phần bên trái).

• Lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục Oy của đồ thị qua Oy.

∗ Từ đồ thị suy ra đồ thị

Ta có

Cách vẽ từ

• Giữ nguyên phần đồ thị bên trên trục Ox của đồ thị (bỏ phần bên dưới).

• Lấy đối xứng phần đồ thị bên dưới trục Ox của đồ thị qua Ox.

3. Tương giao các dạng đồ thị thường gặp vận dụng giải quyết bài toán biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Tương giao đồ thị hàm số và trục Ox

• Cắt nhau tại ba điểm khi và chỉ khi

• Cắt nhau tại hai điểm khi và chỉ khi

• Cắt nhau tại một điểm khi và chỉ khi hoặc

Tương giao đồ thị hàm số và đường thẳng  

Xét phương trình                                                                                                       

• Nhẩm nghiệm rồi đưa về phương trình bậc hai.

• Cô lập tham số sau đó khảo sát hàm số.

Tương giao đồ thị hàm số và trục Ox

• Cắt nhau tại bốn điểm khi và chỉ khi

• Cắt nhau tại ba điểm khi và chỉ khi

Tương giao đồ thị hàm số và đường thẳng

Xét phương trình                                                                                                                                    

Đặt ta có phương trình                                                                

∗ Cắt nhau tại bốn điểm

⇔ có bốn nghiệm phân biệt.

⇔ có hai nghiệm dương phân biệt.

⇔   thỏa mãn 

∗ Cắt nhau tại ba điểm

⇔ có ba nghiệm phân biệt.

⇔ có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm

∗ Cắt nhau tại hai điểm 

⇔ có hai nghiệm phân biệt

⇔ có nghiệm kép dương hoặc có hai nghiệm trái dấu.

∗ Cắt nhau tại một điểm

⇔ có một nghiệm

⇔ có hai nghiệm phân biệt, trong đó và một nghiệm âm hoặc có nghiệm kép .

∗ Không cắt nhau           

⇔ vô nghiệm

⇔ vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm

Tương giao đồ thị hàm số và đường thẳng:  

Xét phương trình                  

Cắt nhau tại hai điểm có hai nghiệm phân biệt khác .

4. Cách biện luận theo m số nghiệm của phương trình

∗ Bài toán tổng quát:

Cho hàm số  có đồ thị

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

Biện luận theo m số nghiệm của phương trình  với m là tham số.

Biến đổi phương trình  về dạng  với  là hàm số ta đã vẽ đồ thị và  không chứa x.

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị và đường thẳng . (Đường thẳng  đi qua điểm  và song song hoặc trùng với trục Ox).

Dựa vào đồ thị để biện luận giá trị của m, số giao điểm và suy ra số nghiệm phương trình.

Ngoài ra việc biện luận hàm số nếu không cô lập được m sẽ sử dụng kiến thức phần 3.

5. Bài tập biện luận m theo số nghiệm của phương trình

Bài 1: Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt AB thỏa mãn  

A.

B.

C.

D.

Bài 2: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt?

A.

B.

C.

D.

Bài 3: Cho hàm số có đồ thị như hình dưới. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình có 8 nghiệm phân biệt là

A. 3

B. 10

C. 0

D. 6

Bài 4: Cho hàm số có đồ thị như hình bên. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 6 nghiệm thực phân biệt.

A.

B.

C.

D.

Bài 5: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt

A.

B.

C.

D.

Thông qua chủ đề biện luận theo m số nghiệm của phương trình chúng ta có thêm được nhiều kiến thức hơn từ các phép biến đổi đồ thị hàm số cho đến biện luận sự tương giao đồ thị bậc 3, bậc 4 trùng phương với hàm g(m). Trong kì thi THPTQG, các câu bài tập thuộc chủ đề này tập trung vào dạng tìm điều kiện của m để số giao điểm của hai đồ thị thỏa yêu cầu bài toán cho trước. Nội dung bài tập sẽ phân bổ kiến thức với độ khó ở mức thông hiểu và vận dụng, vận dụng cao. Để đạt được mức điểm 8+ trong kì thi THPTQG, dạng bài tập này tuyệt đối không được bỏ qua.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang