Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Trong chương trình học, tìm m để hàm số đơn điệu là dạng toán tương đối khó. Tuy nhiên, nếu các em nắm vững phương pháp thì việc xử lý các dạng toán này sẽ trở nên dễ dàng. Bài viết dưới đây, chúng ta sẽ tìm hiểu các dạng toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng liên quan đến 2 hàm số quen thuộc trong chương trình Toán học. Đó là hàm bậc 3 và hàm phân thức.

1. Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến

Giả sử hàm số  có đạo hàm trên 

• Nếu với mọi  và  chỉ tại một số hữu hạn điểm  thì hàm số  đồng biến trên .

• Nếu với mọi  và  chỉ tại một số hữu hạn điểm  thì hàm số  nghịch biến trên .

» Xem thêm: Hàm số đồng biến, nghịch biến là gì? Định nghĩa và cách xác định

2. Tìm m để hàm số bậc ba đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập xác định

*Phương pháp giải:

- Bước 1. Tập xác định

- Bước 2. Tính đạo hàm

- Bước 3.

◦ Hàm số đồng biến trên  

◦ Hàm số nghịch biến trên  

Chú ý: Nếu a có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a = 0

Ví dụ 1.  Cho hàm số  (với  là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của  để hàm số nghịch biến trên ?

A. 0.

B. 6.

C. 5.

D. 7.

Lời giải

Tập xác định: .

.

Hàm số nghịch biến trên

 ( Các em có thể dùng Δ)

Mà  . Vậy 7 có giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.

⇒ Chọn D

Ví dụ 2.  Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số  đồng biến trên .

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Tập xác định:

Ta có: .

Hàm số đồng biến trên  

.

⇒ Chọn A

Ví dụ 3.  Có bao nhiêu giá trị nguyên  để hàm số  đồng biến trên

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải

Tập xác định:

Trường hợp 1:      

+ Với ,  

  (không thỏa)

⇒ loại .

+ Với ,  

  (thỏa)

⇒ nhận .

Trường hợp 2:       .

Ta có   

Khi đó, Hàm số đồng biến trên  

Vậy, từ hai trường hợp trên ta được .

Mà . Vậy có 2 giá trị nguyên của  thỏa mãn đề bài.

⇒ Chọn C

3. Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên từng khoảng xác định hoặc trên K cho trước

*Phương pháp giải:

- Tập xác định:

- Tính

Khi đó:

• Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

• Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

• Hàm số đồng biến trên K

• Hàm số nghịch biến trên K

Ví dụ 1. Tìm tất cả giá trị thực của tham số  để hàm số  nghịch biến trên các khoảng mà nó xác định?

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Tập xác định .

Ta có .

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

⇒ Chọn D

Ví dụ 2. Có tất cả bao nhiêu số nguyên  để hàm số  đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

Lời giải

Tập xác định:

.

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

 Vì  nên

⇒ Chọn C

Ví dụ 3. Cho hàm số  ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ?

A. 5.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Lời giải

Tập xác định .

Đạo hàm .

Hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi

Do . Vậy có 2 giá trị nguyên của m  thỏa mãn đề bài.

⇒ Chọn D

4. Bài tập tự rèn luyện tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Bài 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên ?

A. 2022

B. 7

C. 6

D. 5

Bài 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số  để hàm số  nghịch biến trên ?

A. 8

B. 1

C. 9

D. 10

Bài 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số  nghịch biến trên khoảng

A.

B.

C.

D.

Bài 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số  nghịch biến trên khoảng .

A. Vô số.

B. 1

C. 3

D. 2

Bài 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số  nghịch biến trên khoảng

A.

B.

C.

D.

Hy vọng qua bài viết trên, các em nắm được phương pháp để làm được dạng toán phổ biến này. Chúc các em học tốt nhé.

Biên soạn & chịu trách nhiệm nội dung: Giáo viên Trần Phước Trường - THPT Trung Phú