Phép vị tự: Định nghĩa, công thức và bài tập có lời giải

Phép biến hình là một nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 11. Phép vị tự là một trong số các phép biến hình. Vậy, phép vị tự là gì? Phép vị tự có những tính chất nào? Các bài tập liên quan đến phép vị tự có dạng như thế nào? Để trả lời cho những câu hỏi nêu trên, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Định nghĩa phép vị tự

+ Cho một điểm O cố định và một số k không đổi, k 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho = k.  được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.

+ Kí hiệu: V_{(O, k)}

Ví dụ: Phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 biến điểm M(1; -2) thành điểm M' có tọa độ bao nhiêu?

Giải

Gọi tọa độ của điểm M' là (x; y)

Ta có: V_{(O, 2)} (M) = M'

= k.

(x; y) = 2.(1; -2)

(x; y) = (2; -4)

Vậy, M'(2; -4)

2. Công thức phép vị tự

Giả sử M(x; y), M'(x'; y'), A(a; b). Khi đó, ta có công thức phép vị tự tâm A tỉ số k biến điểm M thành điểm M' như sau:

V_{(A, k)} (M) = M' 

3. Các tính chất của phép vị tự

+ Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M' và N' thì:

  = k.  và M'N' = |k|.MN

+ Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó.

+ Phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đó, biến tia thàng tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với |k|, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là |k|, biến góc thành góc bằng nó.

4. Bài tập phép vị tự

4.1. Tự luận

Bài 1: Phép vị tự tâm O tỉ số k = -3 biến điểm A thành điểm A'(2; 5). Tìm tọa độ của điểm A

Bài 2: Phép vị tự tâm O tỉ số k biến điểm B(0; 1) thành điểm B'(0; -4). Hỏi, giá trị của k là bao nhiêu?

Bài 3: Phép vị tự tâm O tỉ số k = biến điểm A(2; -1) thành điểm A', biến điểm B(6; 2) thành điểm B'. Tính độ dài đoạn thẳng A'B' (lấy đơn vị đo độ dài là cm)

Bài 4: Phép vị tự tâm A(1; 1) tỉ số k = 5 biến điểm C(3; 5) thành điểm C' có tọa độ bao nhiêu?

4.2. Câu hỏi trắc nghiệm

Bài 5: Phép vị tự tâm O tỉ số k biến ba điểm A, B, C lần lượt thành ba điểm A', B', C'. Biết A, B, C là ba điểm thẳng hàng và AC + CB = AB. Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là:

1. Ba điểm A', B', C' thẳng hàng và A' nằm giữa hai điểm B' và C'
2. Ba điểm A', B', C' thẳng hàng và B' nằm giữa hai điểm A' và C'
3. Ba điểm A', B', C' thẳng hàng và C' nằm giữa hai điểm A' và B'
4. Chưa thể kết luận về vị trí của ba điểm A', B', C'

Bài 6: Phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến đường thẳng (d): x - 2y + 1 = 0 thành đường thẳng (d') trong đó:

1. Đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d)
2. Đường thẳng (d') trùng với đường thẳng (d)
3. Đường thẳng (d') cắt đường thẳng (d)
4. Không thể kết luận vì chưa đủ dữ kiện để tìm đường thẳng (d')

Trên đây là phần giới thiệu về phép vị tự cùng các tính chất và một số bài tập liên quan. Mong rằng thông qua bài viết các em có thể nắm được định nghĩa và tính chất của phép vị tự. Đồng thời vận dụng để giải quyết nhiều bài tập liên quan hơn nữa.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang